初三一元二次方程30個題目及詳解

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以
此方程也可用直接開平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c
將二次項系數化為1:x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=
當b2-4ac≥0時,x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項系數化為1:x2-x=
方程兩邊都加上一次項系數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接開平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項
系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓
兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結:
一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般
形式,同時應使二次項系數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式
法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定系數法)。
例5.用適當的方法解下列方程。(選學)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察后發現,方程左邊可用平方差
公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。
(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解關于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。
說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母
取值的要求,必要時進行分類討論。

轉載請注明出處百家教育網 » 初三一元二次方程30個題目及詳解

文化

華大教育在哪里呢?不知道怎么樣

閱讀(99)

陜西華大教育管理咨詢有限公司 華大教育——專業職業教育機構。成立于2008年,是一家運用高新技術來做教育事業,以“切實幫助大學生提高就業能力”為宗旨,以創辦最具影響力的

文化

中國的教育制度是從什么時候開始的

閱讀(127)

正式開始以考試的形式選舉官吏是從隋唐時候開始的。 您好!我補充一下。 中國教育開始于中國古典著作,而不是宗教組織。早期中國任用受教育的官員管理帝國,用來選拔官員的科舉

文化

思凡教育在哪里?

閱讀(291)

地址在上海城21棟803,大門口直接進來就可以看到。 思凡簡介: 啟迪思維,創造非凡。思凡教育團隊5年來一直專注于中小學生課外輔導, 擁有多年輔導孩子的成功經驗,消除了千余

文化

《最好的教育在哪里》讀后感 仰珺

閱讀(85)

讀罷于潔老師的《最好的教育在哪里》,感慨良多。而給我最大啟發的一個字眼便是“耐心”。 教師與學生的交往并不是普通的交往,除了課堂上教授知識以外,課下甚至是平時的生活日

文化

我想學習招人的技巧

閱讀(242)

很多公司都會喜歡有在學生會和團委工作經驗的學生。因為這些學生在學校的時候就已經學習過怎樣和人打交道,比普通的學生多一些工作經驗和社會經驗。但是,我個人認為在學校混的

文化

八年級上冊歷史每一課的順口溜。 人教版

閱讀(206)

八年級上冊歷史每一課的順口溜。 (人教版)第一課 鴉片戰爭?英國為開辟市場,走私鴉片危害廣。? ?民族英雄林則徐,虎門銷煙為國強。? ?一八四零鴉戰起,《南京條約》喪權益

文化

焦作的哪個小學教學質量好?

閱讀(252)

焦作市解放區民生街小學 / 民生東街65號 / 0391-222306 焦作市解放區幸福街小學 / 幸福街 / 0391-222132 焦作市解放區焦西小學 / 建設西路 / 0391-224321 焦作市中站區中站

文化

焦作的考研輔導班名氣比較大的是哪一家

閱讀(249)

我考研只上過一家網課的,面授的我沒有上過,但是我跟很多面授的同學交流過,基本上的上課內容都是差不多的,無非是比網課的多一點課時,該講的重要知識點都會講的。所以說報哪個班都